Формула Тейлора в форме Лагранжа

Если функция $n$ раз дифференцируема в $O(\mathbf{x}^{0})$, то $$\forall{x \in O(\mathbf{x}^{0})}\mathpunct{,}~~ \exists{\theta \in (0; 1)}\mathpunct{,}~~ \mathbf{c} = \mathbf{x}^{0} + \theta(\mathbf{x} - \mathbf{x}^{0}) \in (\mathbf{x}, \mathbf{x}^{0})\mathpunct{:}$$ $$\begin{align} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}^{0}) &+ \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{k!} \sum_{j_{1}=1}^{m} \dots \sum_{j_{k}=1}^{m} \dfrac{\partial^k f(\mathbf{x}^{0})}{\partial x_{j_1} \dots \partial x_{j_k}} (x_{j_1} - x_{j_1}^{0}) \dots (x_{j_k} - x_{j_k}^{0}) \\ &+ \dfrac{1}{n!} \sum_{j_{1}=1}^{m} \dots \sum_{j_{n}=1}^{m} \dfrac{\partial^n f(\mathbf{c})}{\partial x_{j_1} \dots \partial x_{j_n}} (x_{j_1} - x_{j_1}^{0}) \dots (x_{j_n} - x_{j_n}^{0}) \end{align}$$

Рассмотрим функцию: $$g(t) = f(\mathbf{x}^{0} + t(\mathbf{x} - \mathbf{x}^{0})) = f(x_{1}^{0} + t(x_{1} - x_{1}^{0}), \dots, x_{m}^{0} + t(x_{m} - x_{m}^{0}))$$ По формуле Тейлора для функции одной переменной $\exists{\theta \in (0; 1)}\mathpunct{:}$ $$g(t) = g(0) + \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!} t^k + \dfrac{g^{(n)}(\theta t)}{n!} t^n.$$ Осталось подставить $t = 1$ и заметить, что $$g(1) = f(\mathbf{x})\mathpunct{,}~~ g(0) = f(\mathbf{x}^{0})\mathpunct{,}~~ g'(0) = \sum_{j_{1}=1}^{m} \dfrac{\partial f(\mathbf{x}^{0})}{\partial x_{j_1}} (x_{j_1} - x_{j_1}^{0})\mathpunct{,}~~ \dots$$ $\square$

Пусть $dx_k = \Delta x_k = x_k - x_k^0$. Если функция $n$ раз дифференцируема в $O(\mathbf{x}^0)$, то $\forall{\mathbf{x} \in O(\mathbf{x}^0)}~~ \exists{\mathbf{c} \in (\mathbf{x}, \mathbf{x}^0)}\mathpunct{:}$ $$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}^0) + \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{d^k f(\mathbf{x}^0)}{k!} + \dfrac{d^n f(\mathbf{c})}{n!}$$